無限が導く「三平方の定理」の新証明：スコットランドの数学者が見つけた幾何学と級数の融合を要約

ピタゴラスの定理。

三平方の定理。

数学を学んだ者で、この名を知らぬ者はいないだろう。

紀元前から続くこのあまりにも完成された真理に対し、現代の我々が付け加える余地など残されているのか。

結論から言えば、それは「ある」。

それも、およそ幾何学とは無縁に思える「無限」という概念を引っ提げてである。

実は、数学の世界において三平方の定理の証明は数百通りも存在する。

かつてのアメリカ大統領ガーフィールドや、レオナルド・ダ・ヴィンチすらも独自の証明を遺した。

だが、その多くは面積のパズルや代数的な操作に終始している。

一方で、今回紹介する手法は「無限等比級数」を用いる。

幾何学的な直角三角形の中に、底の見えない深淵を見出すというわけだ。

まず、ここに一つの直角三角形を準備する。

議論の便宜上、短辺を $a$、長辺を $b$、斜辺を $c$ と定義しよう。

さらに、$b \ge a$ と仮定しておく。

この些細な準備こそが、後に巨大な真理を導くための第一歩となる。

さあ、思考の準備はいいだろうか。

これから我々は、幾何学の迷宮へと足を踏み入れる。

この証明の白眉は、あえて「おしゃれな遠回り」をすることにある。最短距離で正解に辿り着くことが、必ずしも数学の本質ではない。

むしろ、遠回りの果てに見える景色の美しさをこそ、我々は尊ぶべきなのだ。

プロの視点から見ても、このアプローチは極めて知的で刺激的である。

理性の刃を研ぎ澄ませ。

これは、思考の美学を問う戦いなのだから。

最初の楔（くさび）を打ち込もう。

直角の頂点から斜辺 $c$ に向かって、一本の水線を下ろす。